Exercício Resolvido - Capacitor de Placas Paralelas - Física 3

Capacitor de Placas Paralelas 

Questão: Um capacitor de placas paralelas tem uma área das placas de 0,12 m² e uma distância entre as placas de 1,2 cm. Uma bateria é utilizada para carregar as placas com uma diferença de potencial de 120 V e em seguida é removida do circuito. Um dielétrico com 4,0 mm de espessura e constante dielétrica 4,8 é introduzido simetricamente entre as placas. Permissividade do vácuo: $\epsilon_{0}$ = 8,85.10⁻¹² C²/N.m². Calcule:
(a) o módulo do campo elétrico no interior do dielétrico;
(b) a diferença de potencial entre as placas após a introdução do dielétrico;
(c) a capacitância após a introdução do dielétrico;
(d) o trabalho necessário para introduzir o dielétrico. 

Resposta:

Letra (a) 

Aplicando a lei de Gauss para um dielétrico,

$$\begin{equation}\epsilon_0 \oint k\vec{E}\cdot \,d\vec{A}=\epsilon_0 E_1 A=q\end{equation}$$

ou

$$\begin{equation}E_1 = \dfrac{q}{\epsilon_0 Ak}\end{equation}$$

Como a carga permanece constante, temos

$$\begin{equation}q=C_0 V=\dfrac{\epsilon_0 A}{d}V\end{equation}$$

$$\begin{equation}q=\dfrac{8,85 \times 10^{-12} \cdot (0,12)}{1,2\times 10^{-2}}120 = 10,62~nC\end{equation}$$

Substituindo (4) em (3):

$$\begin{equation}E_1 = \dfrac{q}{\epsilon_0 Ak}=\dfrac{10,62\times10^{-9}}{8,85 \times 10^{-12}\cdot 0,12 \cdot 4,8}=2,0833 \dfrac{kV}{m}\end{equation}$$

Letra (b)

Temos que:

$$\begin{equation}V_1=\int_{-}^{+}\vec{E}\cdot d\vec{s}\end{equation}$$

Onde os sinais - e + indicam que a trajetória de integração começa na placa negativa e termina na placa positiva. E,

$$\begin{equation}V_{1}=E_{0}(d-l)+E_{1}l\end{equation}$$

com,

$$\begin{equation}E_0 = \dfrac{q}{\epsilon_0 Ak}=\dfrac{10,62\times10^{-9}}{8,85 \times 10^{-12}\cdot 0,12 \cdot 1}=10 \dfrac{kV}{m}\end{equation}$$

Nesse caso $k$ é igual a 1 porque a superfície gaussiana não passa pelo dielétrico. Logo,

$$\begin{equation}V_{1}=10000(0,012-0,004)+2083,3(0,004)=88,33~V\end{equation}$$

Letra (c)

E a capacitância após a introdução do dielétrico é:

$$\begin{equation}q=C_{1}V_{1}\end{equation}$$

$$\begin{equation}C_1=\dfrac{q}{V_1}=\dfrac{10,62\times10^{-9}}{88,33}=0,12~nF\end{equation}$$

Letra (d)

O trabalho necessário para introduzir o dielétrico é:

$$\begin{equation}W=\Delta V_{1}=\dfrac{q^2}{2C_1}-\dfrac{q^2}{2C_0}\end{equation}$$

$$\begin{equation}W=\dfrac{q^2}{2}\left(\dfrac{1}{C_1}-\dfrac{1}{C_0}\right)=\dfrac{{(10,62\times10^{-9})}^2}{2}\left(\dfrac{1}{0,12\times10^{-9}}-\dfrac{1}{\dfrac{10,62\times10^{-9}}{120}}\right)\Rightarrow\end{equation}$$

$$\begin{equation}W=-1,67\times10^{-7}~J\end{equation}$$

Veja também o solucionário de Fundamentos de Fisica - Vol. 3. Halliday - 8ª Edição

REFERÊNCIAS:

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; MERRILL, J. Fundamentos de Física, vol. 3 Eletromagnetismo,  LTC Editora. RJ. 

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